Unidad 4

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Unidad4

 

Ecuaciones e Inecuaciones (Definición, Tipos) Representación

 

Definición de ecuacione

Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (encadenamiento de números y letras ligados por operaciones matemáticas diversas),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o  conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad.

 

Una ecuación puede tener  ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo:

5x - 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2

x 2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = ð15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x - 7 = x + 1 es equivalente a 2x - 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

 

Tipos De Ecuaciones

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones. 

Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales, exponenciales, trigonométricas…

  

Inecuaciones

Las desigualdades son expresiones de la forma A<B, donde A y B pueden ser expresiones numéricas ó algebraicas y el símbolo "<(menor que)" podría ser  >(mayor que) ó  ≤(menor ó igual que)"  ó ≥(mayor ó igual que). A la expresión que hay a la izquierda le llamaremos primer miembro y a la que hay a la derecha, segundo miembro.

Ejemplo: 2·4-1<10 es una desigualdad "cierta" (equivalente a 7<10). En esta última, el primer miembro es 7 y el segundo 10.

Regla de la suma: Si sumamos (o restamos) una misma cantidad a los dos miembros de una desigualdad, obtenemos otra desigualdad equivalente del mismo sentido. O sea,  A<B  Û A+C<B+C para cualquier cantidad C.

Si sumamos 2 unidades a los dos miembros de la desigualdad anterior, tendremos que 7+2<10+2, ó sea, 9<12 (cierto).

Restando 3 unidades (por ejemplo) a los dos miembros, tendremos 7-3<10-3, ó sea, 4<7 (cierto).

Regla del producto: Si multiplicamos (o dividimos)  los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad (distinta de cero) , obtenemos otra desigualdad equivalente, del mismo sentido si C>0 y de sentido contrario si C<0. O sea,  A<B  Û (A·C<B·C si C es una cantidad positiva ó A·C>B·C si C es una cantidad negativa).

Si en la desigualdad 7<10 multiplicamos los dos miembros por 2, tendremos que 7·2<10·2, ó sea, 14<20.

Si lo hacemos por (-2), tendremos 7·(-2)>10·(-2), ó sea, -14>-20. (Observa que lo que antes era "<" se ha convertido ahora en ">"; la desigualdad ha cambiado de sentido).

Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. A las letras de dichas expresiones algebraicas les llamaremos incógnitas, y dependiendo de cuantas haya, diremos que se trata de una inecuación con una, dos, tres,...incógnitas.

Ejemplo: 3x-4≤2 es una inecuación con una incógnita (x).

Los valores de la incógnita(as) que hacen cierta la desigualdad se llaman soluciones de la inecuación. Para la inecuación anterior, x=0 es solución (porque es cierto que 3·0-4≤2), pero x=3 no es solución (porque no es cierto que 3·3-4≤2).

Resolver una inecuación consiste en encontrar todas sus soluciones.

Diremos que dos inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Por ejemplo, 3·x-4≤2 es equivalente a 3·x≤6 ó a x≤2.

Podemos utilizar la Regla de la suma y la Regla del producto para transformar una inecuación en otra equivalente más sencilla de resolver.

Por ejemplo:

4x-3≤ 5+2x Û (Sumando 3 a los dos miembros) 4x≤ 8+2x Û (Restando 2x en los dos miembros) 4x-2x≤ 8 Û 2x≤ 8 Û (Dividiendo por 2 en los dos miembros) x≤ 4; luego las soluciones de esta inecuación son todos los números del intervalo (-∞,4].

^{Nota: Si fuese 4x-3 < 5+2x, la solución sería el intervalo (-∞,4).}