Unidad 2

Unidad 2

 Expresiones algebraicas, clasificación polinomio, producto notable, factorización de polinomio 

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

CLASIFICACION DE POLINOMIOS

Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x² + 0x + 0

Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x² + 3xy

Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 3x² − 3 

Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 3x² + 5x − 3 

Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3 

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3 

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 5x³ − 2x − 7 

Polinomios semejantes

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x³ + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4 

PRODUCTO NOTABLE

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

  

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Binomio de Suma al Cuadrado ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 Binomio Diferencia al Cuadrado ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 Diferencia de Cuadrados ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b) Binomio Suma al Cubo ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 Binomio Diferencia al Cubo a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) Suma de dos Cubos

Diferencia de Cubos a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2) Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac) Trinomio Suma al Cubo ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c) Identidades de Legendre ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2) ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab Producto de dos binomios que tienen un término común ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Productos notables binomio al Cuadrado

Productos notables diferencia de un Cuadrado

Productos notables binomio al Cubo

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

Sacar factor común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d) 

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

1. x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2. 2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x² + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3. x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b. 

Factor común por Descomposicion

 

Factor común por Agrupacion

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b) 

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1. x² − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2. x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) = (x + 2) · (x − 2) · (x² + 4)

Las raíces son x = −2 y x = 2